Question

【題目】已知函數(shù),為常數(shù),當(dāng)時(shí),有三個(gè)極值點(diǎn),,(其中).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（2）求證:.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）函數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,由,得,令,得是一個(gè)根,要使在上有三個(gè)極值點(diǎn),,,則有三個(gè)解,結(jié)合已知,即可求得答案;

（2）由(1)知,是方程在內(nèi)的個(gè)解, ,令,,,即,要證.只要證,即可求得答案.

（1）函數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

由,得,

令,得是一個(gè)根,要使在上有三個(gè)極值點(diǎn),,,

則有三個(gè)解,所以在必有個(gè)解,.

,

令,則,

由,得,

由,得,

在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,當(dāng)時(shí),,,

為了滿足題意,必有,

的取值范圍為.

（2）由(1)知,是方程在內(nèi)的個(gè)解,

,,

,

令,,

則,即,

要證.

只要證

,

,

結(jié)合函數(shù)的圖像知,

兩點(diǎn),連線的斜率比兩點(diǎn),連線的斜率小,

即只要證:,即:,().

令(),

,

在單調(diào)遞減,

,

.