Question

14．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2=AA₁，則直線AC₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題，過取BC的中點(diǎn)E，連接C₁E，AE，證明AE⊥面BB₁C₁C，推出∠AC₁E就是AC₁與平面BB₁C₁C所成的角，解直角三角形AC₁E即可．

解答 解：取BC的中點(diǎn)E，連接C₁E，AE
則AE⊥BC，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
面ABC∩面BB₁C₁C=BC，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴∠AC₁E就是AC₁與平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△AC₁E中，∵AB=AA₁，
sin∠AC₁E=$\frac{AE}{{AC}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 考查直線和平面所成的角，求直線和平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．