Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且長軸長為8，T為橢圓上一點(diǎn)，直線TA、TB的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)M（0，2）的動(dòng)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得直線TA，TB的斜率，由$\frac{y}{x+4}$•$\frac{y}{x-4}$=-$\frac{3}{4}$，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），則直線TA的斜率為k₁=$\frac{y}{x+4}$，直線TB的斜率為k₂=$\frac{y}{x-4}$，．…（2分）
于是由k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，得$\frac{y}{x+4}$•$\frac{y}{x-4}$=-$\frac{3}{4}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線PQ與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
所以，x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{32}{4{k}^{2}+3}$．…（6分）
從而$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=x₁x₂+y₁y₂+[x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）]，
=2（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=$\frac{-80{k}^{2}-52}{4{k}^{2}+3}$=-20+$\frac{8}{4{k}^{2}+3}$．…（8分）
-20＜$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$≤-$\frac{52}{3}$，…（10分）
當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的值為-20，
綜上所述$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范圍為[-20，-$\frac{52}{3}$]．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)單調(diào)性及最值與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．