Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+

1

2

x²-（m+1）x+ln2e²（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出m=-1的f（x）的解析式，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)m討論，①當(dāng)m＞1時(shí)，②當(dāng)m=1時(shí)，③當(dāng)0＜m＜1時(shí)，④當(dāng)m≤0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)f(x)=-lnx+

1

2

x2+ln2e2，f′(x)=-

1

x

+x，
即有f（2）=4，f′(2)=

3

2

，
則切線方程為：y-4=

3

2

(x-2)，
即 3x-2y+2=0；
（Ⅱ）由已知可得f′(x)=

m

x

+x-(m+1)，（x＞0）
即f′(x)=

x2-(m+1)x+m

x

=

(x-1)(x-m)

x

，
①當(dāng)m＞1時(shí)，當(dāng)x＞m或0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（ m，+∞），遞減區(qū)間為（1，m）．
②當(dāng)m=1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（ 0，+∞）．
③當(dāng)0＜m＜1時(shí)，當(dāng)x＞1或0＜x＜m時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)m＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，m），（1，+∞），遞減區(qū)間為（m，1）．
④當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
即有函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和判斷單調(diào)性，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法和二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵．