Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）若{a_n}是公差為d的等差數列，請寫出并推導S_n的計算公式；
（2）若a_n=n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式、“倒序相加”即可證明；
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∴S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，S_n=[a₁+（n-1）d]+…+（a₁+d）+a₁，
∴2S_n=n[2a₁+（n-1）d]，∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d，或Sn=

n(a1+an)

2

．
（2）∵a_n=n，∴S_n=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、“倒序相加”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．