Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

（x²-ax+2）
（1）a=3，求函數(shù)的定義域和值域．
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使得f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當a=3時，由x²-3x+2＞0函數(shù)的定義域，進而根據(jù)真數(shù)部分可以為任意正數(shù)，可得函數(shù)f（x）的值域為R；
（2）若f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．則t=x²-ax+2在（3，+∞）上是單調(diào)增，且大于0恒成立，故

a 2 ≤3 9-3a+2≥0

，解得答案．

解答： 解：（1）當a=3時，由x²-3x+2＞0得：
x∈（-∞，1）∪（2，+∞）
故函數(shù)f（x）的定義域為：（-∞，1）∪（2，+∞），
令t=x²-ax+2，此時t∈（0，+∞0，
故函數(shù)f（x）的值域為R     （6分）
（2）若f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
則t=x²-ax+2在（3，+∞）上是單調(diào)增，且大于0恒成立，
故

a 2 ≤3 9-3a+2≥0

，
解得a≤

11

3

，
所以a∈（-∞，

11

3

）（12分）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及復合函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．