Question

11．已知函數(shù)f（x）=a（x²+1）．若對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． m≤2
• B． m＜2
• C． m≤-2
• D． m＜-2

Answer 1

分析 對(duì)任意x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，等價(jià)于ma-a²＞[a（x²+1）+lnx]_max，由h（x）=a（x²+1）+lnx的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性易求h（x）_max，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，分離出參數(shù)m后，再求關(guān)于a的函數(shù)的最值即可；

解答 解：由題意知對(duì)任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時(shí)，恒有ma-f（x）＞a²+lnx成立，等價(jià)于ma-a²＞[a（x²+1）+lnx]_max
令h（x）=a（x²+1）+lnx，h′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$，令h′（x）=0，得x=$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$，
當(dāng)x$∈（0，\sqrt{\frac{-1}{2a}}）$時(shí)，h'（x）＞0，在x$∈（\sqrt{\frac{-1}{2a}}，+∞）$時(shí)，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$）上是增函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{-1}{2a}}$，+∞）上是減函數(shù)；
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以$\sqrt{\frac{-1}{2a}}∈$（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)a∈（-4，-2）時(shí)，h（x）在[1，3]上是減函數(shù)，
所以h（x）_max=h（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因?yàn)閍∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤-2．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．．