Question

已知函數(shù)f(x)=loga(

x2+1

+x)（其中a＞1）．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（3）若兩個(gè)函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上是分離的．試判斷函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上是否分離？若分離，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不分離，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)反函數(shù)的定義，反解x，主要x的取值范圍；
（3）根據(jù)兩函數(shù)在閉區(qū)間上分離的概念課求得

解答： 解：（1）∵

x2+1

+x＞|x|+x≥0，
∴函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，
又∵f(x)+f(-x)=loga(

x2+1

+x)+loga(

x2+1

-x)=loga(x2+1-x2)=0，
∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．

（2）由

x2+1

+x＞0，且當(dāng)x→-∞時(shí)，

x2+1

+x→0，
當(dāng)x→+∞時(shí)，

x2+1

+x→+∞，得f(x)=loga(

x2+1

+x)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集．
解y=loga(

x2+1

+x)得f-1(x)=

1

2

(ax-a-x)，x∈R．

（3）|

1

2

(ax-a-x)-ax|＞2在區(qū)間[1，2]上恒成立，即

1

2

|ax+a-x|＞2，
即a^x+a^-x＞4在區(qū)間[1，2]上恒成立，
令a^x=t，∵a＞1，∴t∈[a，a²]，t+

1

t

在t∈[a，a²]上單調(diào)遞增，∴(t+

1

t

)min=a+

1

a

＞4，
解得a＞2+

3

，∴a∈(2+

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)以及新概念的題目．