Question

11．已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）分別是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致．設(shè)a＞0，若f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，則b的取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致即f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，來(lái)求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：f′（x）=3x²+a，g′（x）=2x+b．
由題得f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
因?yàn)閍＞0，故3x²+a＞0，
進(jìn)而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，
所以b≥2．
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．