Question

14．如圖，F(xiàn)是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦點，過F作漸近線的垂線，垂足為P，與另一條漸近線相交于Q，若|PF|=|PQ|，則C的離心率為2．

Answer 1

分析 通過聯(lián)立漸近線y=$\frac{a}$x與直線PF的方程，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），利用中點坐標公式可得Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），將點Q代入漸近線y=-$\frac{a}$x，計算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（c，0），相應(yīng)的漸近線：y=$\frac{a}$x，
則直線PF的斜率為-$\frac{a}$，其方程為：y=-$\frac{a}$（x-c），
設(shè)P（t，$\frac{a}$t），代入直線PF的方程，
得：$\frac{a}$t=-$\frac{a}$（t-c），解得：t=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵|PF|=|PQ|，即點P為線段FQ的中點，
∴Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），
∵點Q在漸近線y=-$\frac{a}$x上，
∴2$\frac{ab}{c}$=-$\frac{a}$（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），
化簡得：$\frac{c}{a}$=2，即離心率為2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．