Question

2．某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計(jì)），易拉罐的體積為108πml．設(shè)圓柱的高度為hcm，底面半徑半徑為rcm，且h≥4r，假設(shè)該易拉罐的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知易拉罐側(cè)面制造費(fèi)用為m元/cm²，易拉罐上下底面的制造費(fèi)用均為n元/cm²（m，n為常數(shù)）
（1）寫出易拉罐的制造費(fèi)用y（元）關(guān)于r（cm）的函數(shù)表達(dá)式，并求其定義域；
（2）求易拉罐制造費(fèi)用最低時(shí)r（cm）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，體積V=πr²h，可求得h，再由易拉罐的制造費(fèi)用公式求得費(fèi)用，根據(jù)函數(shù)得意義求得定義域．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最值．

解答 解：（1）由題意，體積V=πr²h，得h=$\frac{V}{π{r}^{2}}=\frac{108}{{r}^{2}}$．
y=2πrh×m+2πr²×n=2π （$\frac{108m}{r}$+nr²）．…（4分）
因?yàn)閔≥4r，即$\frac{108}{{r}^{2}}$≥4r，所以r≤3，即所求函數(shù)定義域?yàn)椋?，3]．…（6分）
（2）令f（r）=$\frac{108m}{r}$+nr²，則f'（r）=-$\frac{108m}{{r}^{2}}$+2nr．
由f'（r）=0，解得r=$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．
①若$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．＜1，當(dāng)n＞2m時(shí)，$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．∈（0，3]，由

R	（0，$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$）．	$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．	（$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．，3]
f'（r）	-	0	+
f（r）	減		增

得，當(dāng)r=$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．時(shí)，f（r）有最小值，此時(shí)易拉罐制造費(fèi)用最低．…（10分）
②若$3\root{3}{\frac{2m}{n}}$．≥1，即n≤2m時(shí)，由f'（r）≤0知f（r）在（0，3]上單調(diào)遞減，
當(dāng)r=3時(shí)，f（r）有最小值，此時(shí)易拉罐制造費(fèi)用最低．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用題中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間求出滿足題意的結(jié)果．屬于中檔題型，在高考中時(shí)有考查．