Question

10．已知f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$（x∈R），若關(guān)于x的方程f²（x）-kf（x）+k-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為$（{1，1+\frac{1}{e}}）$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，設(shè)m=f（x），利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：化簡可得f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，x≥0}\\{-\frac{x}{{e}^{x}}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)0≤x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x≥1時，f′（x）≤0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＜0時，f′（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$＜0，f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$在（0，+∞）上有一個最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$，作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：
設(shè)m=f（x），當(dāng)m＞$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有1個解，
當(dāng)m=$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有2個解，
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時，方程m=f（x）有3個解，
當(dāng)m=0時，方程m=f（x），有1個解，
當(dāng)m＜0時，方程m=f（x）有0個解，
則方程f²（x）-tf（x）+t-1=0等價為m²-tm+t-1=0，
要使關(guān)于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，
等價為方程m²-tm+t-1=0有兩個不同的根m₁＞$\frac{1}{e}$且0＜m₂＜$\frac{1}{e}$，
設(shè)g（m）=m²-tm+t-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=t-1＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{t}{e}+t-1＜0}\\{-\frac{-t}{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜t＜1+$\frac{1}{e}$，
故選答案為：$（{1，1+\frac{1}{e}}）$．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．