Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元．

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為y＝a·＋bv2·＝S(＋bv) 　　∴所求函數(shù)及其定義域為y＝S(＋bv)，v∈(0，c]． 　　(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù) 　　∴S(＋bv)≥2S�、� 　　當(dāng)且僅當(dāng)＝bv，即v＝時，①式中等號成立． 　　若≤c則當(dāng)v＝時，有ymin＝2S； 　　若＞c，則當(dāng)v∈(0，c時，有S(＋bv)－S(＋bc) 　�。絊[(－)＋(bv－bc)]＝(c－v)(a－bcv) 　　∵c－v≥0，且c＞bc2，∴a－bcv≥a－bc2＞0 　　∴S(＋bv)≥S(＋bc)，當(dāng)且僅當(dāng)v＝c時等號成立， 　　也即當(dāng)v＝c時，有ymin＝S(＋bc)； 　　綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當(dāng)≤c時，行駛速度應(yīng)為v＝，當(dāng)＞c時，行駛速度應(yīng)為v＝c． 　　解法二：(1)同解法一． 　　(2)∵函數(shù)y＝S(＋bv)，v∈(0，＋∞)， 　　當(dāng)x∈(0，)時，y單調(diào)減小， 　　當(dāng)x∈(，＋∞)時，y單調(diào)增加， 　　當(dāng)x＝時，y取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為y＝Sb(v＋)，v∈(0，c． 　　∴當(dāng)≤c時，則當(dāng)v＝時，y最小，若＞c時，則當(dāng)v＝c時，y最�。� 　　結(jié)論同上．