Question

13．若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，則稱f（x）為D上的“收縮”函數(shù)．）
（1）判斷f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x在[-1，1]上是否為“收縮”函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）是否存在k∈R，使f（x）=k$\sqrt{{x}^{2}+1}$在R上位“收縮“函數(shù)，若存在，求k的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若D=[0，1]，f（0）=f（1），且f（x）為”收縮“函數(shù)，?x₁、x₂∈D，|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{2}$能否恒成立并說(shuō)明理由？

Answer 1

分析 f（x）為D上的“收縮”函數(shù)?函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，等價(jià)于|k|≤1，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$（x+1）²-$\frac{1}{4}$，∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴任取x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|=f（1）-f（-1）=1≤|1-（-1）=2，因此函數(shù)f（x）為“收縮”函數(shù)．
（2）f′（x）=$\frac{kx}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，則|f′（x）|=$\frac{|kx|}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≤$\frac{|k|}{\sqrt{2}}$≤1，因此只要|k|$≤\sqrt{2}$即可，∴k∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
（3）∵f（x）為“收縮”函數(shù)，D=[0，1]，任取x₁、x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，|k_AB|≤1．例如取f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+x}$x∈D，則$|f（0）-f（\frac{1}{2}）|$=1≤$\frac{1}{2}$不成立．因此|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{2}$不恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、新定義“收縮函數(shù)”，考查了變形能力、數(shù)形結(jié)合與計(jì)算能力，屬于中檔題．