Question

11．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（0，3）上是減函數(shù)；
（2）判斷f（x）在（3，+∞）上的單調(diào)性（無需證明）；
（3）若函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域為[6，10]，求b+a的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（2）由單調(diào)性的定義，可得f（x）在（3，+∞）上的單調(diào)性；
（3）由f（x）的極小值和f（1）=f（9）=10，即可得到取得最值時的區(qū)間，

解答 解：（1）證明：設(shè)0＜m＜n＜3，
則f（m）-f（n）=m+$\frac{9}{m}$-（n+$\frac{9}{n}$）=（m-n）（1-$\frac{9}{mn}$），
由0＜m＜n＜3，可得m-n＜0，0＜mn＜9，
即有1-$\frac{9}{mn}$＜0，即f（m）-f（n）＞0，
則函數(shù)f（x）在（0，3）上是減函數(shù)；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是增函數(shù)；
（3）f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（0，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
則f（x）在x=3處取得極小值6．
由f（1）=f（9）=10，
即有區(qū)間[3，9]，a+b=12為最大值；
區(qū)間[1，3]，a+b=4為最小值．

點評 本題考查對勾函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：求最值和值域，考查運算和推理能力，屬于中檔題．