Question

【題目】已知橢圓C的右焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，|AB|=3．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)T，使得 為定值？若存在，求出點(diǎn)T坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1，a＞b＞0，

由已知可得： =3，c=1，

又a2=b2+c2，

解得 ，

故所求橢圓C的方程為 =1

（2）解：設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)T（t，0），

當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

將x=my+1代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

顯然△＞0，且y1+y2= ，y1y2= ，x1+x2= ，x1x2= ．

∴ =（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2= +t2﹣2t+1，

要使 為定值須有 = ，得t= ，

此時(shí)T（ ，0）， 為定值﹣ ．

當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為0時(shí)， =﹣ ．

故存在點(diǎn)T（ ，0）滿(mǎn)足題設(shè)

【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1，a＞b＞0．，由已知可得： =3，c=1，又a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)T（t，0），當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB為x=my+1，將直線(xiàn)方程代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得： = +t2﹣2t+1，要使 為定值須有 = ，得t，即可得出；當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為0時(shí)， 直接得出．