Question

已知圓x²+y²-6x-7=0與拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線相切
（Ⅰ）求拋物線C的方程
（Ⅱ）過拋物線C的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=7，求線段AB的中點M到y軸的距離．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,拋物線的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出圓的圓心與半徑，利用y²=2px（p＞0）的準線相切，求出p，得到拋物線方程．
（Ⅱ）求出拋物線C的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，求出拋物線定義知線段AB的中點M到準線的距離，然后求解線段AB的中點M到y軸的距離．

解答： 解：（Ⅰ）圓x²+y²-6x-7=0，即（x-3）²+y²=16，所以圓心（3，0），半徑為4，
拋物線的準線方程為x=-

p

2

，依題意，有3-（-

p

2

）=4，得p=2，
故拋物線方程為y²=4x；------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，
由拋物線定義知線段AB的中點M到準線的距離為

1

2

(|，
故線段AB的中點M到y軸的距離d=

7

2

-1=

5

2

．------（12分）

點評：本題考查圓的方程與拋物線方程的綜合應用，點到直線的距離，考查分析問題解決問題的能力．