【題目】已知函數(shù)y=f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)x>0時(shí),x2f'(x)>﹣2xf(x)成立,若x∈R,e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)>0恒成立,則a的取值范圍是_____.
【答案】0≤a<e
【解析】
構(gòu)造g(x)=x2f(x),利用x2f'(x)>﹣2xf(x),可得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)>0,為g(ex)>g(ax),即可得ex>ax,分x=0,x>0,x<0三種情況討論,參變分離即得解.
令g(x)=x2f(x),
因?yàn)?/span>x>0時(shí),x2f'(x)>﹣2xf(x)
可知x>0時(shí)g'(x)=2xf(x)+x2f(x)>0,
g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
所以g(x)為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù),
因?yàn)?/span>e2xf(ex)﹣a2x2f(ax)>0,所以g(ex)>g(ax),
即可得ex>ax,
當(dāng)x=0時(shí),1>0恒成立,
當(dāng)x>0時(shí),a恒成立,所以a,
當(dāng)x<0時(shí),a恒成立,所以,
令h(x),h'(x),
所以h(x)在(﹣∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
h(1)=e,
當(dāng)x<0時(shí),h(x)<0,
所以0≤a<e,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a+b﹣c)(sinA+sinB+sinC)=bsinA.
(1)求C;
(2)若a=2,c=5,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.設(shè)a為正整數(shù),數(shù)列{xn}滿足x1=a,xn+1= (n∈N*).現(xiàn)有下列命題:
①當(dāng)a=5時(shí),數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5,3,2;
②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k,當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk;
③當(dāng)n≥1時(shí),xn>-1;
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k,若xk+1≥xk,則xk=[].
其中的真命題有________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)設(shè),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且的范圍是,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,ABCD為矩形,是以為直角的等腰直角三角形,平面平面ABCD.
(1)證明:平面平面PBC;
(2)為直線PC的中點(diǎn),且,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
(1)當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)時(shí),求的極小值;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對(duì)任意,恒成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓>>0,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線,使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn).求證:⊥.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù),),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)系方程為.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.
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