Question

11．求函數(shù)y=2a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$在x∈（0，1]上的最大值（其中a∈R）．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\sqrt{x}$，則t∈（0，1]，把問(wèn)題化為求函數(shù)f（t）=2at-$\frac{1}{{t}^{2}}$在（0，1]上的最大值即可；
再對(duì)f（t）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（t）的單調(diào)性，從而求出f（t）的最大值．

解答 解：設(shè)t=$\sqrt{x}$，則t∈（0，1]，
函數(shù)f（x）=2a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$可化為f（t）=2at-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
其導(dǎo)數(shù)為f′（t）=2a+$\frac{2}{{t}^{3}}$，
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f′（t）＞0顯然成立，函數(shù)f（t）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（t）_max=f（1）=2a-1；
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（t）=0，解得t=-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，
易知t∈（0，-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；
在t∈（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，+∞）時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；
①若-1≤a＜0，（此時(shí)-$\frac{1}{\root{3}{a}}$≥1），則f（t）_max=f（1）=2a-1；
②若a＜-1，則f（t）在（0，-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$，1]內(nèi)單調(diào)遞減；
∴f（t）_max=f（-$\frac{1}{\root{3}{a}}$）=-3${a}^{\frac{2}{3}}$；
綜上，當(dāng)a≥-1時(shí)，f（t）_max=2a-1，
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（t）_max=-3${a}^{\frac{2}{3}}$；
即a≥-1時(shí)，y的最大值是2a-1，
a＜-1時(shí)，y的最大值是-3${a}^{\frac{2}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性并利用單調(diào)性求出最值．