Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2，代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（Ⅱ）猜想a_n=2+$\sqrt{n}$，n∈N^*．然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=3，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2（n∈N^*）可得
a₂=2+$\sqrt{2}$，a₃=2+$\sqrt{3}$，a₄=2+$\sqrt{4}$=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想：a_n=2+$\sqrt{n}$，n∈N^*．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊a₁=3，右邊2+1=3，符合結(jié)論；
（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，即a_k=2+$\sqrt{k}$，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\sqrt{{a}_{k}^{2}-4{a}_{k}+5}+2$=$\sqrt{（2+\sqrt{k}）^{2}-4（2+\sqrt{k}）+5}$+2=$\sqrt{4+k+4\sqrt{k}-8-4\sqrt{k}+5}$+2=$\sqrt{k+1}$+2，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立；
根據(jù)（1）和（2），可知猜想對(duì)于任意n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法