Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點，點Q在側(cè)棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，試求$\frac{CP}{CQ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AD⊥PE，AD⊥BE，即可證明：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，利用底面積S_BCDE=$\frac{3}{4}$S_ABCD，求$\frac{CP}{CQ}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：由E是AD的中點，PA=PD，所以AD⊥PE；
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°
所以AB=BD，
又因為E是AD的中點，
所以AD⊥BE，（4分）
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，所以V_P-BCDE=$\frac{1}{3}$S_BCDE•h₁，V_Q-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD•h₂，（8分）
又因為V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=$\frac{3}{4}$S_ABCD，（10分）
所以$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=4．（13分）

點評 本題考查線面垂直的判定，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．