【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差為 的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2﹣a1a5=( )
A.0
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f(x)=2x﹣cosx, ∴f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=2(a1+a2+…+a5)﹣(cosa1+cosa2+…+cosa5),
∵{an}是公差為 的等差數(shù)列,
∴a1+a2+…+a5=5a3 , 由和差化積公式可得,
cosa1+cosa2+…+cosa5
=(cosa1+cosa5)+(cosa2+cosa4)+cosa3
=[cos(a3﹣ ×2)+cos(a3+ ×2)]+[cos(a3﹣ )+cos(a3+ )]+cosa3
=2cosa3cos +2cosa3cos(﹣ )+cosa3=cosa3(1+ + ),
則cosa1+cosa2+…+cosa5的結(jié)果不含π,
又∵f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,
∴cosa3=0,故a3= .
[f(a3)]2﹣a1a5=π2﹣( ﹣2 ) = .
故選:D.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在等差數(shù)列{an}中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,且,公比大于1的等比數(shù)列滿(mǎn)足, .
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在拋物線上,且到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.
求拋物線的方程;
若直線與拋物線相交于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證直線恒過(guò)軸上的某定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)電飯煲,每年需投入固定成本40萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件還需另投入16萬(wàn)元的變動(dòng)成本,設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)電飯煲萬(wàn)件并全部銷(xiāo)售完,每一萬(wàn)件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元,且(),該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)為(萬(wàn)元),(注:利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式,并求年利潤(rùn)的最大值;
(2)為了讓年利潤(rùn)不低于2360萬(wàn)元,求年產(chǎn)量的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有兩解,則x的取值范圍是( )
A.x>2
B.x<2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,.
(1)記函數(shù),且,求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,,,均有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱臺(tái)中, 與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形,平面平面,四邊形為直角梯形, , , 為中點(diǎn), (, ).
(1)設(shè)中點(diǎn)為, ,求證: 平面;
(2)若到平面的距離為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超過(guò)的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照, , , 分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該城市居民中隨機(jī)抽取3人,記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值(精確到0.01),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩條直線l1(3+m)x+4y=5﹣3m,l2 2x+(5+m)y=8.當(dāng)m分別為何值時(shí),l1與l2:
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?
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