【題目】如圖,在四棱錐中, 底面,底面為直角梯形, , , , 為的中點(diǎn),平面交于點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)二面角的余弦值
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)等腰三角形和已知推導(dǎo)出,從而,再由,得平面,由此證明;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn), 為軸, 為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)系分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求二面角的余弦值.
試題解析:證明:(1)因?yàn)?/span>, 分別為, 的中點(diǎn), ,所以.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>底面,所以.
因?yàn)?/span>,所以平面.
所以.
因?yàn)?/span>,所以平面
因?yàn)?/span>平面,所以.
(2)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.
則, , , , .
由(1)可知, 平面,
所以平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為
因?yàn)?/span>, ,
所以即
令,則, ,
所以,所以
所以二面角的余弦值.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì),屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片,每張卡片上面寫(xiě)著1個(gè)數(shù)字,這8個(gè)數(shù)字各不相同,且奇數(shù)有3個(gè),偶數(shù)有5個(gè).每張卡片被取出的概率相等.
(Ⅰ)如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片,并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù),求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上寫(xiě)著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片,否則繼續(xù)取出卡片.設(shè)取出了次才停止取出卡片,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列結(jié)論:
①若扇形的中心角為2,半徑為1,則該扇形的面積為1;②函數(shù)是偶函數(shù);③點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心;④函數(shù)在上是減函數(shù).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間有關(guān)系,某農(nóng)科所對(duì)此關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查分析,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程;
(3)若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(2)中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠?
(參考公式: , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)方程有兩個(gè)不等的負(fù)根, 方程無(wú)實(shí)根,若“”為真,“”為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù), ,則對(duì)于不同的實(shí)數(shù),函數(shù)的單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)不可能是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 5個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為6萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.9萬(wàn)元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷(xiāo)售完,每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元,且.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)求該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)及相應(yīng)的年產(chǎn)量.(年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)設(shè), ,若函數(shù)存在零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若是偶函數(shù),設(shè),若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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