Question

7．若x=2是函數f（x）=x（x-m）²的極大值點，則m的值為（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 2或6
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知：求導，f′（2）=0，求得m的值，再分別利用函數極值的判斷，求得m的值．

解答 解：f（x）=x（x-m）²=x³-2mx²+m²x，則f′（x）=3x²-4mx+m²，
x=2是函數f（x）的極大值點，
f′（2）=0，12-8m+m²=0，解得m=2或6，
當m=2時，f（x）=x（x-2）²，f′（x）=3x²-8x+4，
f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，
f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：（-∞，$\frac{2}{3}$），（2，+∞），單調遞減區(qū)間為：（$\frac{2}{3}$，2），
∴x=$\frac{2}{3}$是f（x）的極大值，x=2是f（x）的極小值；
當m=6時，f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3x²-24x+36，
f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，
f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：（-∞，2），（6，+∞），單調遞減區(qū)間為：（2，6），
∴x=2是f（x）的極大值，x=6是f（x）的極小值；
所以m=6，
故答案選：B．

點評 本題考查了求函數的導數與函數的極值的綜合應用，考查分析問題和解決問題得能力，屬于中檔題．