Question

2．若函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3（a為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)f′（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，通過討論a討論函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=2ae^x-2x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3，函數(shù)f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，ae^x=x，由函數(shù)圖象可知，y=ae^x和y=x僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）=2ae^x-x²+3僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x²+3，由二次函數(shù)圖象可知，f（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3，函數(shù)f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g′（x）＞0，x＜1，
當(dāng)g′（x）＜0，x＞1，
g（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減；
∴g（x）最大值為g（1）=$\frac{1}{e}$，
總上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解問題方程的根，函數(shù)的交點(diǎn)，同時(shí)考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．