Question

5．已知平面上三個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow$|=3$\sqrt{5}$，且（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1））根據(jù)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，利用|$\overrightarrow{c}$|求出λ的值即可；                                           
（2）根據(jù)（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）數(shù)量積為0，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ的余弦值．

解答 解：（1））∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），
由|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，得$\sqrt{{λ}^{2}{+（2λ）}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
解得λ=±3，
∴$\overrightarrow{c}$=（3，6）或（-3，-6）；                                           
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=3$\sqrt{5}$，
且（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=8${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=8×5+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-45=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{5}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角θ的余弦值為：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×3\sqrt{5}}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了向量共線定理和向量的模的計算公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．