Question

已知函數(shù),，其中R.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù),當(dāng)時，若，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）;（3）.

【解析】

試題分析：（1）先對求導(dǎo)，由于的正負(fù)與參數(shù)有關(guān)，故要對分類討論來研究單調(diào)性; （2）先由在其定義域內(nèi)為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在不等式中求參數(shù)范圍的問題，利用分離參數(shù)法和基本不等式的知識求出參數(shù)的取值范圍;（3）先通過導(dǎo)數(shù)研究在的最值，然后根據(jù)命題“若，，總有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，從而列出不等式組求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（1）的定義域為，且，        1分

①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；        2分

②當(dāng)時，由，得；由，得；

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.     4分

（2），的定義域為

               5分

因為在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，

而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以            8分

（3）當(dāng)時，，

由得或

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以在上，        10分

而“，，總有成立”等價于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值為

所以有                   12分

所以實數(shù)的取值范圍是         14分

考點：1、利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，2、參數(shù)的取值范圍問題，3、基本不等式.