Question

若函數(shù)y=

f(x)

x

在（m，+∞）上為增函數(shù)（m為常數(shù)），則稱f（x）為區(qū)間（m，+∞）上的“一階比增函數(shù)”，（m，+∞）為f（x）的一階比增區(qū)間．
（1）若f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）=λx³-xlnx-x²  （λ＞0，λ為常數(shù)），且g（x）=

f(x)

x

有唯一的零點(diǎn)，求f（x）的“一階比增區(qū)間”；
（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”，求證：?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用“一階比增函數(shù)”的意義，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得出；
（2）利用“一階比增函數(shù)”的意義，利用g（x）=

f(x)

x

有唯一的零點(diǎn)先求出λ的值，即可得到f（x）的“一階比增區(qū)間”；
（3）利用“一階比增函數(shù)”的意義及增函數(shù)的定義即可證明；

解答： 解：（1）若f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”，
則y=

f(x)

x

=lnx-2ax，
則y'=

1

x

-2a，
要使f（x）=xlnx-2ax²是（0，+∞）上的“一階比增函數(shù)”，
則y'=

1

x

-2a≥0恒成立，即a≤

1

2x

恒成立，
∵x＞0，
∴a≤0．
（2）若f（x）=λx³-xlnx-x²  （λ＞0，λ為常數(shù)），
則g（x）=

f(x)

x

=λx²-lnx-x，
由g（x）=

f(x)

x

=λx²-lnx-x=0，
得λx²-x=lnx，
設(shè)y=λx²-x和y=lnx，
要使g（x）=

f(x)

x

有唯一的零點(diǎn)，則由y=λx²-x和y=lnx的圖象可知
當(dāng)y=λx²-x經(jīng)過點(diǎn)（1，0）時(shí)，函數(shù)g（x）=

f(x)

x

有唯一的零點(diǎn)，
此時(shí)λ-1=0，解得λ=1，
此時(shí)g（x）=

f(x)

x

=x²-lnx-x，
g'（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

，
由g'（x）=

2x2-x-1

x

＞0，
得2x²-x-1＞0，
∴x＞1或x＜-

1

2

（舍去），
即函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間為（1，+∞），
∴f（x）的“一階比增區(qū)間”是（1，+∞）；
（3）∵f（x）是“一階比增函數(shù)”，即

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又?x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∴

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
即f(x1)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

∴f(x1)+f(x2)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=f（x₁+x₂）．
∴?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，正確“一階比增函數(shù)”的意義及增函數(shù)的定義及利用已經(jīng)證明過的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．