Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（

π

6

x+

π

3

）（0≤x≤5），點A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖象上的最高點和最低點．
（1）求點A、B的坐標(biāo)以及

OA

•

OB

的值
（2）設(shè)點A、B分別在角α、β（α、β∈[0，2π]）的終邊上，求sin（

α

2

-2β）的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由x的范圍求出

π

6

x+

π

3

的范圍，得到f（x）的最大值和最小值，從而求出A，B的坐標(biāo)，則

OA

•

OB

的值
可求；
（2）由點A、B分別在角α、β（α、β∈[0，2π]）的終邊上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展開兩角差的正弦公式求得sin（

α

2

-2β）的值．

解答： 解：（1）∵0≤x≤5，∴

π

3

≤

π

6

x+

π

3

≤

7π

6

，
∴-1≤cos（

π

6

x+

π

3

）≤

1

2

．
當(dāng)

π

6

x+

π

3

=

π

3

，即x=0時，f（x）取得最大值1，
當(dāng)

π

6

x+

π

3

=π，即x=4時，f（x）取得最小值-2．
因此，所求的坐標(biāo)為A（0，1），B（4，-2）．
則

OA

=(0，1)，

OB

=(4，-2)．
∴

OA

•

OB

=0-2=-2；
（2）∵點A（0，1）、B（4，-2）分別在角α、β（α、β∈[0，2π]）的終邊上，
則α=

π

2

，sinβ=-

5

5

，cosβ=

2 5

5

，
則sin2β=2sinβcosβ=2×(-

5

5

)×

2 5

5

=-

4

5

，
cos2β=2cos²β-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

．
∴sin（

α

2

-2β）=sin（

π

4

-2β）=sin

π

4

cos2β-cos

π

4

sin2β
=

2

2

(cos2β-sin2β)=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

．

點評：本題考查了三角函數(shù)最值的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了三角函數(shù)的倍角公式及和差化積公式，考查了任意角的三角函數(shù)的定義，是中檔題．