Question

設曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C₁.

（Ⅰ）寫出曲線C₁的方程；

（Ⅱ）證明曲線C與C₁關于點A（）對稱；

（Ⅲ）如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明s=－t且t≠0.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：曲線C1的方程為y＝（x－t）3－（x－t）＋s． （Ⅱ）證明：在曲線C上任取一點B1（x1，y1），設B2（x2，y2） 是B1關于點A的對稱點，則有． 所以x1＝t－x2，y1＝s－y2． 代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：s－y2＝（t－x2）3－（t－x2）， 即y2＝（x2－t）3－（x2－t）＋s 可知點B2（x2，y2）在曲線C1上. 反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上，因此，曲線C與C1關于點A對稱. （Ⅲ）證明：因為曲線C與C1有且僅有一個公共點 所以方程組有且僅有一組解 消去y整理得3tx2－3t2x＋（t3－t－s）＝0 這個關于x的一元二次方程有且僅有一個根. 所以t≠0并且其根的判別式Δ＝9t4－12t（t3－t－s）＝0 即，∴s＝－t且t≠0.