Question

從橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM，又Q是橢圓上任一點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求∠F₁QF₂的范圍；
（3）當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F₁PQ的面積為20，求橢圓方程．

Answer 1

解：（1）∵過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），
∴，
∵AB∥OM，
所以k_AB=k_OM，即，
從而得到，
∴離心率．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴，
又因?yàn)?IMG style="WIDTH: 127px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120902/201209021422039232402.png">，
所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，
所以．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵，
所以，
所以直線F₂Q的方程：y=（x﹣c）
直線與橢圓聯(lián)立，
消元可得5x²﹣8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，
，
由弦長(zhǎng)公式可得
，
又因?yàn)镕₁到直線的距離，
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 240px; HEIGHT: 36px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120902/201209021422044734540.png">，
所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以橢圓的方程為．