Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）且與直線x=-$\frac{1}{2}$相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是曲線E的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、C在y軸上，△PBC的內(nèi)切圓的方程為（x-1）²+y²=1，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用拋物線的定義，可得軌跡為拋物線，進(jìn)而得到方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），求得直線PB的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，求得b，c的關(guān)系，求得△PBC的面積，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知圓心到（$\frac{1}{2}$，0）的距離等于到直線x=-$\frac{1}{2}$的距離，
由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：y²=2x．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），
直線PB的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圓心（1，0）到PB的距離為1，
即$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
所以，可知b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
所以b+c=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依題意bc＜0，即x₀＞2，
則（c-b）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
因?yàn)閥₀²=2x₀，所以：|b-c|=|$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$|
所以S=$\frac{1}{2}$|b-c|•|x₀|=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8
當(dāng)x₀=4時(shí)上式取得等號(hào)，
所以△PBC面積最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．