Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$（a為常數(shù)）
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值．求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）．求證：f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$（注：e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，f′（x）=0在（e，+∞）內(nèi)有不等的實根，令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，β＞e．即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）確定函數(shù)f（x）在（0，α），（β，+∞）上單調(diào)遞增，在（α，1），（1，β）上單調(diào)遞減，可得f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），再構(gòu)造函數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
由f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{（x-1）^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，
∴f′（2）=0，
∴$\frac{1}{2}$-a=0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解：∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（2+a）x+1}{x（x-1）^{2}}$，函數(shù)f（x）在（e，+∞）內(nèi)有極值，
∴f′（x）=0在（e，+∞）內(nèi)有不等的實根，
令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1．
不妨設(shè)β＞α，則α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴β＞e．
∴φ（0）=1＞0，
∴φ（e）=e²-（2+a）e+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
即實數(shù)a的取值范圍是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）；
（Ⅲ）證明：由上知，f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β，
∴函數(shù)f（x）在（0，α），（β，+∞）上單調(diào)遞增，在（α，1），（1，β）上單調(diào)遞減，
由x₁∈（0，1），得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{α}{α-1}$，
x₂∈（1，+∞），得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{β}{β-1}$，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
又αβ=1，α+β=a+2，β＞e
∴f（β）-f（α）=lnβ+$\frac{β}{β-1}$-（lnα+$\frac{α}{α-1}$）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
令H（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），
則H′（β）=（$\frac{1}{β}$+1）²＞0，
∴H（β）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（β）＞H（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．