Question

17．已知坐標原點O到直線$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點Q（0，-1）在以點P（a，b）為圓心的圓P上，則圓P的最大半徑是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 利用坐標原點O到直線$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得出$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即2a²+b²=2，由|QP|²=a²+（b+1）²=$\frac{1}{2}$（b+2）²≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+2）²，即可求出|QP|的最大值．

解答 解：∵坐標原點O到直線$\sqrt{2}$ax+by-1=0（a，b∈R）的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴2a²+b²=2，
|QP|²=a²+（b+1）²=$\frac{1}{2}$（b+2）²≤$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+2）²，∴|QP|的最大值為$\sqrt{2}$+1，
故答案為$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查點與直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．