Question

14．已知圓x²+y²=4，點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，0），動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠OMA的最大值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|MA|=x，則可求得|OM|，|AO|的值，進(jìn)而利用余弦定理得到cos∠OMA的表達(dá)式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，進(jìn)而求得∠OMA的最大值．

解答 解：設(shè)|MA|=x，則|OM|=2，|AO|=$\sqrt{3}$
由余弦定理可知cos∠OMA=$\frac{4+{x}^{2}-3}{4x}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）
∴∠OMA≤$\frac{π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，余弦定理的應(yīng)用，均值不等式求最值．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．