Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且P（a₂，14），Q（a₄，14）都在y=x+$\frac{45}{x}$的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式和前n項和為S_n；
（2）設b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求出a₂，a₄，再由等差數(shù)列的通項公式求得公差，進一步求得首項，代入通項公式和前n項和得答案；
（2）把等差數(shù)列的通項公式代入b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)利用裂項相消法求{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+\frac{45}{{a}_{2}}=14}\\{{a}_{4}+\frac{45}{{a}_{4}}=14}\end{array}\right.$，又數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，解得a₂=5，a₄=9．
∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{4-2}=\frac{9-5}{2}=2$．
∴a₁=5-2=3．
則a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
${S}_{n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}+2n$；
（2）b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（-1）^{n}（2n+1）}{n（n+1）}=（-1）^{n}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$．
當n為奇數(shù)時，${T}_{n}=-（1+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…-（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=$-1-\frac{1}{n+1}=-\frac{n+2}{n+1}$；
當n為偶數(shù)時，${T}_{n}=-（1+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=$-1+\frac{1}{n+1}=-\frac{n}{n+1}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n+2}{n+1}，n為奇數(shù)}\\{-\frac{n}{n+1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差關系的確定，考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．