Question

2．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，動點C滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．給出以下命題：
①若x+y=1，則點C的軌跡為直線；
②若|x|+|y|=1，則點C的軌跡為矩形；
③若xy=1，則點C的軌跡為拋物線；
④若$\frac{x}{y}$=1，則點C的軌跡為直線；
⑤若x²+y²+xy=1，則點C的軌跡為圓．
以上命題正確的為①②⑤（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析 由題意可設A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），由條件可得x，y的關系，由x'，y'表示，對于①，容易判斷軌跡為直線；對于②，結合對稱性，可得軌跡為正方形；對于③，易得軌跡為雙曲線；對于④，注意y不為0；對于⑤，化簡整理，即可得到軌跡為圓．

解答 解：由題意可設A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），
$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．則x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），y'=$\frac{1}{2}$（x-y），
即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'，y═$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'，
對于①，若x+y=1，則有$\sqrt{3}$x'=1，即x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則點C的軌跡為直線，則①正確；
對于②，若|x|+|y|=1，即有|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'|+|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'|=1，則圖形關于x'，y'軸對稱，
坐標原點對稱，即有C的軌跡為矩形，則②正確；
對于③，若xy=1，則$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，C的軌跡為雙曲線，則③錯誤；
對于④，若$\frac{x}{y}$=1，則y'=0且$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'≠0，則C的軌跡為兩條射線，則④錯誤；
對于⑤，若x²+y²+xy=1，則$\frac{2}{3}$x'²+2y'²+$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，即為x'²+y'²=1，
則C的軌跡為圓，則有⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查平面向量共線的坐標表示，主要考查動點的軌跡問題，注意化簡整理，結合等價變形，屬于中檔題和易錯題．