【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點，點滿足，點，若直線斜率為，求面積的最大值及此時直線的方程.

【答案】（1）（2），直線的方程為

【解析】

(1)有題意有可求解.
(2)先討論特特殊情況, 是否為原點，然后當的斜率存在時, 設的斜率為,表示出的長度，進一步表示出的面積,然后求最值.

解：（1）由題設知

，

橢圓的方程為：

（2）法一： 為的中點

又

1）當為坐標原點時

當的斜率不存在時，此時、為短軸的兩個端點

當的斜率存在時，設的斜率為

設，，則，代入橢圓方程

整理得：

，

到的距離

解一：令

令

或

函數(shù)在單調遞增，單調遞減，單調遞增

時，為的極大值點，也是最大值點

直線方程為

解二：設，則

要得的最大值

，

當，時，即，時等號成立

，直線方程為

2）當不為原點時，由，

，，三點共線

，設，，，

的斜率為

，，

，在橢圓上，

得

，即

設直線代入橢圓方程，整理得

，

到直線的距離

令，，

令，，，

在上單調遞增，在上單調遞減

，

，此時直線

綜上所述：，直線的方程為

解二：設，，為的中點，在橢圓上

當直線的斜率不存在時，設則，

， 所以

，則，為短軸上的兩個端點

當直線的斜率存在時，設，

消去得

,

，

由得

或

下同解法一

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，我國工業(yè)經(jīng)濟發(fā)展迅速，工業(yè)增加值連年攀升，某研究機構統(tǒng)計了近十年（從2008年到2017年）的工業(yè)增加值（萬億元），如下表：

年份

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

工業(yè)增加值

13.2

13.8

16.5

19.5

20.9

22.2

23.4

23.7

24.8

28

依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

5.5

20.6

82.5

211.52

129.6

（1）根據(jù)散點圖和表中數(shù)據(jù)，此研究機構對工業(yè)增加值（萬億元）與年份序號的回歸方程類型進行了擬合實驗，研究人員甲采用函數(shù)，其擬合指數(shù)；研究人員乙采用函數(shù)，其擬合指數(shù)；研究人員丙采用線性函數(shù)，請計算其擬合指數(shù)，并用數(shù)據(jù)說明哪位研究人員的函數(shù)類型擬合效果最好.（注：相關系數(shù)與擬合指數(shù)滿足關系）.

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及統(tǒng)計值，建立關于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（3）預測到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬億元大關.

附：樣本 的相關系數(shù)，

，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；

(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且.

（1）求的值，并證明在處取得極值；

（2）證明：在區(qū)間有唯一零點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，等腰梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（平面）.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，，例如：.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入的，則輸出結果為（ ）

A.-4.6B.-2.8C.-1.4D.-2.6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為且滿足，當時，.

（1）判斷在上的單調性并加以證明；

（2）若方程有實數(shù)根，則稱為函數(shù)的一個不動點，設正數(shù)為函數(shù)的一個不動點，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（ ）

A.設m為實數(shù)，若方程表示雙曲線，則m＞2．

B.“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的充分不必要條件

C.命題“x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“x∈R，x2+2x+3＞0”

D.命題“若x0為y＝f（x）的極值點，則f’（x）＝0”的逆命題是真命題

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