Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：ln[2•3•4•…（n+1）]²≤n（n+1）（n∈N，n＞1）

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），而f′（x）=$\frac{1}{x}$-k．能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（2）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$），由此能確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）根據(jù)lnx≤x-1，得到ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，整理即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-k．
當k≤0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當k＞0時，若x∈（0，$\frac{1}{k}$）時，有f′（x）＞0，
若x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）時，有f′（x）＜0，
則f（x）在（0，$\frac{1}{k}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{k}$，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$），要使f（x）≤0恒成立，
則f（$\frac{1}{k}$）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1；
（3）由（2）得：k=1時，lnx≤x-1，
令x=2，3，4，…，n+1，
則ln2＜2-1=1，ln3＜3-1=2，ln4＜4-1=3，…，ln（n+1）＜（n+1）-1=n，
左右兩邊分別相加得：ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，
∴l(xiāng)n（2•3•4…（n+1））≤$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴l(xiāng)n[2•3•4•…（n+1）]²≤n（n+1）（n∈N，n＞1）．

點評 本題考查函數(shù)單調區(qū)間的求法，確定實數(shù)的取值范圍，滲透了分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．