Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n滿足S_n=2a_n-2．
（1）求{a_n}的通項；
（2）若{b_n}滿足b₁=1，

bn+1

n+1

-

bn

n

=1，求數(shù)列{a_n

bn

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)S_n=2a_n-2，n∈N^*得到當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減得a_n=2a_n-1，求出首項，再求出等差數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用題意和等比數(shù)列的定義，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再求出a_n

bn

，利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n

bn

}的前n項和．

解答： 解：（1）由題意得，S_n=2a_n-2，
則當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
令n=1得，a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
因此{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）因為

bn+1

n+1

-

bn

n

=1，b₁=1，
所以數(shù)列{

bn

n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
則

bn

n

=1+（n-1）×1=n，即bn=n2，
所以an

bn

=2n•

n2

=n•2ⁿ，
設(shè)數(shù)列{a_n

bn

}的前n項和為T_n，
則T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ    ①，
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹   ②，
①-②得，-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（-n+1）•2ⁿ⁺¹-2
所以T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故數(shù)列{a_n

bn

}的前n項和是（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數(shù)列的S_n與a_n的關(guān)系式的應(yīng)用，等差、等比數(shù)列的定義、通項公式，以及數(shù)列的前n項和的求法：錯位相減法的合理運用．