Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=-x+4與x軸交與點A，過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交與另一點B，B的橫坐標為1．
（1）點C為拋物線的頂點，點D為直線AB上一點，點E為該拋物線上一點，且D、E兩點的縱坐標都為1，求△CDE面積．
（2）如圖2，P為直線AB上方的拋物線上一點（點P不與點A、B重合），PM⊥x軸于點M，交線段AB于點F，PN∥AB，交x軸于點N，過點F作FG∥x軸，交PN于點G，設點M的坐標為（m，0），FG的長度為d，求d與m之間的函數關系式及FG長度的最大值，且求出此時P點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）令y=0，可得A（4，0），令x=1，可得B（1，3），再代入拋物線方程，得到方程組，解出a，b，即可得到拋物線方程，進而得到C，D，E的坐標，再由面積公式，即可得到△CDE面積；
（2）由M的坐標，即可得到P，F的坐標，再由PN∥AB，得到直線PN的方程，即可得到G的坐標，即可得到距離d，再由m∈（1，4），求出最大值，以及點P的坐標．

解答： 解：（1）由于直線y=-x+4與x軸交于點A，則A（4，0）．
由于過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=-x+4交于另一點B，B的橫坐標為1，
則B（1，3）．
由

16a+4b=0 a+b=3

，解得

a=-1 b=4

，
則有拋物線y=-x²+4x，
即有頂點C（2，4），D（3，1），E（2±

3

，1）
則S_△DEC=

1

2

×3×|2±

3

-3|=

3

2

（

3

±1）；
（2）由于M的坐標為（m，0），
則P（m，4m-m²），F（m，4-m），
由于PN∥AB，
則直線PN：y-4m+m²=-（x-m），即y=-x+5m-m²，
當y=4-m時，x=6m-m²-4，
即有G的坐標為（6m-m²-4，4-m），
則d=|6m-m²-4-m|=|-m²+5m-4|，
由于m∈（1，4），
則-m²+5m-4＞0
則有，d=-m²+5m-4．
當m=

5

2

時，d_max=-

25

4

+

25

2

-4=

9

4

，
把m=

5

2

代入得P點坐標（

5

2

，

15

4

）．

點評：本題考查拋物線的方程和運用，考查直線方程及運用，考查運算能力，屬于中檔題．