Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=

3

2

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）解方程即可；
（2）將m分離出來，然后求等號(hào)另一邊關(guān)于x的函數(shù)的最值，借助于單調(diào)性求該函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由f(x)=

3

2

⇒2x-

1

2x

=

3

2

⇒2•(2x)2-3•2x-2=0．
（2^x-2）（2^x+1）=0
∵2^x＞0⇒2^x=2⇒x=1．
（2）由2tf(2t)+mf(t)≥0⇒2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0
m（2^t-2^-t_）≥-2^t（2^2t-2^-2t），
又t∈[1，2]⇒2^t-2^-t＞0，
m≥-2^t（2^t+2^-t）
即m≥-2^2t-1．
只需m≥（-2^2t-1）_max
令y=-2^2t-1，易知該函數(shù)在t∈[1，2]上是減函數(shù)，所以ymax=-22-1=-5．
綜上 m≥-5．

點(diǎn)評(píng)：本題的第二問要仔細(xì)體會(huì)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解得基本思路，要注意總結(jié)．同時(shí)要注意利用換元法在此類問題時(shí)，中間變量t的范圍．