Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱AD的中點，求二面角A-BD₁-P的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：設(shè)正方體的邊長為2，取BD₁的中點E，連接PE，則PE⊥BD₁，過E在三角形ABD₁中，作EF⊥BD₁，交AD₁于F，連接FP，
則∠FEP即為二面角A-BD₁-P的平面角．由平面幾何的知識，分別求出EF，EP，PF 的長，再由余弦定理，即可得到二面角的平面角的大小．

解答： 解：設(shè)正方體的邊長為2，
由于P為AD的中點，
則BP=PD₁=

22+12

=

5

，
取BD₁的中點E，連接PE，則PE⊥BD₁，
由于AB⊥平面ADD₁A₁，
則AB⊥AD₁，
過E在三角形ABD₁中，作EF⊥BD₁，
交AD₁于F，連接FP，
則∠FEP即為二面角A-BD₁-P的平面角．
在三角形BD₁P中，PE=

( 5 )2-( 3 )2

=

2

，
EF=D₁Etan∠BD₁A=

3

•

2

2 2

=

6

2

，
D₁F=

( 3 )2+ 3 2

=

3 2

2

，AF=2

2

-

3 2

2

=

2

2

，
FP=

1 2 +1-2× 2 2 ×1× 2 2

=

2

2

．
在三角形FEP中，
cos∠FEP=

( 6 2 )2+( 2 )2-( 2 2 )2

2× 6 2 × 2

=

3

2

．
則∠FEP=60°．
即有二面角A-BD₁-P的大小為60°．

點評：本題主要考查空間二面角的求法，考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．