Question

3．設(shè)f（x）=ax²+（a-2）x-2（a∈R）．
（I）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（II）若a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）≤0時恒成立，求a的取值范圍．
（III）若當(dāng)-1＜a＜1時，f（x）＞0時恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)a=0和a≠0以及根的大小討論求解．
（II）a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時，利用二次方程根的分布，可求a的取值范圍．
（III）當(dāng)-1＜a＜1時，設(shè)g（a）=a（x²+x）-2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成關(guān)于a的一次函數(shù)求x的取值范圍．

解答 解：（ I）由不等式f（x）≥0可得，（ax-2）（x+1）≥0．
當(dāng)a=0時，不等式可化為-2（x+1）≥0，解得x≤-1；
當(dāng)a≠0時，方程（ax-2）（x+1）=0有兩根$-1，\frac{2}{a}$．
若a＜-2，$-1＜\frac{2}{a}$，由（ax-2）（x+1）≥0，解得$-1≤x≤\frac{2}{a}$；
若a=-2，不等式可化為-2（x+1）²≥0，解得x=-1；
若-2＜a＜0，$\frac{2}{a}＜-1$，由（ax-2）（x+1）≥0，解得$\frac{2}{a}≤x≤-1$；
若a＞0，$\frac{2}{a}＞-1$，由（ax-2）（x+1）≥0，解得$x≤-1或x≥\frac{2}{a}$；
綜上所述，當(dāng)a=0時，不等式的解集為{x|x≤-1}；當(dāng)a＜-2時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|-1≤x≤\frac{2}{a}}\right\}$；當(dāng)a=-2時，不等式的解集為{-1}；當(dāng)-2＜a＜0時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|\frac{2}{a}≤x≤-1}\right\}$；當(dāng)a＞0時，不等式的解集為$\left\{{\left.x\right|x≤-1或x≥\frac{2}{a}}\right\}$．
（II）因a＞0，f（x）≤0故函數(shù)f（x）開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的特征，若要-1≤x≤1時，f（x）≤0時恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（{-1}）≤0\end{array}\right.$即可．
因此，由$\left\{\begin{array}{l}f（1）=2a-4≤0\\ f（{-1}）=0≤0\\ a＞0\end{array}\right.$，
解得0＜a≤2．
所以，a的取值范圍為（0，2]．
（ III）若當(dāng)-1＜a＜1時，設(shè)g（a）=a（x²+x）-2（x+1）
因此，當(dāng)-1＜a＜1時，f（x）＞0時恒成立等價于當(dāng)-1＜a＜1時，g（a）＞0恒成立．
當(dāng)x=0時，g（a）=-2＜0，不符合題意；
當(dāng)x=-1時，g（a）=0，不符合題意；
當(dāng)x≠0，x≠-1時，只需$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（{-1}）≥0\end{array}\right.$成立即可
即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-2≥0\\-{x^2}-3x-2≥0\\ x≠0，x≠-1\end{array}\right.$，解得-2≤x≤-1．
所以，x的取值范圍為[-2，-1）

點評 本題考查了不等式的解法（系數(shù)引發(fā)的討論）．轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)的思想．恒等式的轉(zhuǎn)化求解問題．屬于難題．