Question

14．如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（m≠0），點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)，則△DAB的面積S的取值范圍為（4，+∞）．

Answer 1

分析 由拋物線C：y²=4x可得焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PF的方程為：y=k（x-1）．與拋物線方程聯(lián)立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，求出點(diǎn)D（-1，0）到直線AB的距離d．再利用S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|，即可得出所求范圍．

解答 解：由拋物線C：y²=4x可得焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PF的方程為：y=k（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
點(diǎn)D（-1，0）到直線AB的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$＞4．
∴△DAB的面積S的取值范圍為（4，+∞）．
故答案為：（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立，同時(shí)考查根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．