Question

6．設(shè)拋物線y²=8x的焦點是F，有傾角為45°的弦AB，|AB|=8$\sqrt{5}$．
（1）求直線AB方程，
（2）求△FAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB方程為y=x+b，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得b=-3，進(jìn)而得到直線方程；
（2）求得拋物線的焦點，運(yùn)用點到直線的距離公式和三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)AB方程為y=x+b
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消去y得：x²+（2b-8）x+b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=（2b-8）²-4b²＞0，解得b＜2．
且x₁+x₂=8-2b，x₁•x₂=b²．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[（8-2b）^{2}-4^{2}]}$=8$\sqrt{5}$，
解得：b=-3，
∴直線方程為y=x-3，即x-y-3=0；    
（2）拋物線y²=8x的焦點是F（2，0），
即有F到直線x-y-3=0的距離為d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則△FAB的面積S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時考查點到直線的距離公式和三角形的面積計算，屬于中檔題．