Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2ax-a，（a∈R）
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）函數(shù)f（x）在[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過判別式判斷函數(shù)f（x）的圖象與x軸的位置關(guān)系，然后根據(jù)圖象寫出不等式的解；
（2）要使f（x）在[-1，1]上有零點(diǎn)，即x²-2ax-a=0在[-1，1]上有解，則只需求出a═

x2

2x+1

，x∈[-1，1]的值域，利用函數(shù)的性質(zhì)，不難求出該函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）對于不等式x²-2ax-a＞0，
△=（-2a）²+4a=4a²+4a，
①當(dāng)△＜0即-1＜a＜0時，不等式的解為R；
②當(dāng)△=0即a=-1或a=0時，
若a=-1，原不等式的解為x∈R且x≠-1，
若a=0，原不等式的解為x∈R且x≠0；
③當(dāng)△＞0即a＜-1或a＞0時，由x²-2ax-a=0得x_1，2=a+

a2+a

或a-

a2+a

，
此時不等式的解為x＜a-

a2+a

或x＞a+

a2+a

，
綜上，當(dāng)-1＜a＜0時，不等式的解為R；
當(dāng)a＜-1或a＞0時，不等式的解為x＜a-

a2+a

或x＞a+

a2+a

；
當(dāng)a=-1，原不等式的解為x∈R且x≠-1；
當(dāng)a=0，原不等式的解為x∈R且x≠0．
（2）要使f（x）在[-1，1]上有零點(diǎn)，只需x²-2ax-a=0在[-1，1]上有解，
將方程變形為a═

x2

2x+1

，x∈[-1，1]且x≠-

1

2

，
∴a′（x）=

2x2+2x

(2x+1)2

=

2x(x+1)

(2x+1)2

，
當(dāng)-1＜x＜-

1

2

，或-

1

2

＜x＜0時，a′（x）＜0，∴a（x）在（-1，-

1

2

)和（-

1

2

，0）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時，a′（x）＞0，∴a（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
而a（1）=

1

3

，a（0）=0，a（-1）=-1，且當(dāng)x→-

1

2

時，a（x）→-∞（當(dāng)x＜-

1

2

時）或+∞（當(dāng)x＞-

1

2

時），
∴a的范圍是（-∞，-1]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評：本題的第二問是一個方程在指定區(qū)間上的根的存在性問題，一般可先分離參數(shù)，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于自變量的函數(shù)，然后求該函數(shù)在指定區(qū)間上的函數(shù)值域．