Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{2}$對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（$α+\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，得函數(shù)的最小正周期為π，求出ω=2，由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{2}$對稱，能求出φ=$\frac{π}{2}$．
（2）由f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x，f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求出cosα=$\frac{1}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，由此利用誘導(dǎo)公式能求出cos（$α+\frac{3π}{2}$）．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
∴函數(shù)的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，∵ω＞0，∴ω=2，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{2}$對稱，
∴$2×\frac{3π}{2}+$φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos2x，
∵f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），
∴f（$\frac{α}{2}$）=$\sqrt{3}cosα$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosα=$\frac{1}{4}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（$α+\frac{3π}{2}$）=sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中參數(shù)及三角函數(shù)值的求法，考查三角函數(shù)的圖象、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．