Question

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x（百臺），總成本為C（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，每生產(chǎn)1百臺，成本增加1萬元，銷售收入 （萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡．
（1）若要該廠不虧本，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
（2）該廠年產(chǎn)多少臺時(shí)，可使利潤最大？
（3）求該廠利潤最大時(shí)產(chǎn)品的售價(jià)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，成本函數(shù)為C（x）=2+x，

從而利潤函數(shù)

要使不虧本，只要L（x）≥0，

當(dāng)0≤x≤4時(shí)，L（x）≥03x﹣0.5x2﹣2.5≥01≤x≤4，

當(dāng)x＞4時(shí)，L（x）≥05.5﹣x≥04＜x≤5.5．

綜上，1≤x≤5.5．

答：若要該廠不虧本，產(chǎn)量x應(yīng)控制在100臺到550臺之間

（2）解：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，

故當(dāng)x=3時(shí)，L（x）max=2（萬元），

當(dāng)x＞4時(shí)，L（x）＜1.5＜2．

綜上，當(dāng)年產(chǎn)300臺時(shí)，可使利潤最大

（3）解：由（2）知x=3，時(shí)，利潤最大，此時(shí)的售價(jià)為 （萬元/百臺）=233元/臺
【解析】由題意寫出成本函數(shù)，則收入函數(shù)減去成本函數(shù)即可得到利潤函數(shù)．（1）由利潤函數(shù)大于等于0，分段求解x的取值范圍，取并集得答案；（2）分段求解利潤函數(shù)的最大值，取各段最大值中的最大者；（3）（2）中求出了利潤最大時(shí)的x的值，把求得的x值代入 得答案．