Question

12．設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，A為銳角
（1）若a=3，b=$\sqrt{6}$，求角B；
（2）若S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b+c=3，b＞c，求b，c．

Answer 1

分析 （1）將a，b代入條件式計算得出B，根據(jù)a＞b可知B為銳角，從而得出B；
（2）利用正弦定理將邊化角，得出sinA，利用面積公式得出bc，結(jié)合b+c=3，解方程組得出b，c．

解答 解：（1）∵b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，∴$\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}×3sinB$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A是銳角，a＞b，∴B$＜A＜\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$asinB，∴sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinAsinB，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A是銳角，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴bc=2．
又b+c=3，b＞c，∴b=2，c=1．

點評 本題考查了正弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．